Hàm số liên tục toán cao cấp

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cửa hàng các kỹ năng và kiến thức của lịch trình nhiều, mục đích của bài bác này là ôn tập, hệ thống hóa với nâng cấp các kỹ năng và kiến thức về hàm số một trở nên số: Giới hạn, tính tiếp tục của hàm số.

Bạn đang xem: Hàm số liên tục toán cao cấp

Hướng dẫn học • Đây là bài học kinh nghiệm nhằm mục đích ôn tập và hệ thống hóa lại những kiến thức tân oán học tập sẽ học trong lịch trình ít nhiều cần bạn cần gọi kỹ lại những định hướng về hàm số....

Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêu • Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sựquý khách yêu cầu học với làm bài xích tập của bài bác nàytrong nhị tuần, mỗi tuần khoảng 3 cho 4 liên tụcgiờ đồng hồ thời trang. • Giải được các bài bác tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng phần mềm toán thù để tính tân oán với hàm số, giới hạnNội dungTrên các đại lý những kiến thức của công tác rộng rãi, mục đích của bài xích này là ôn tập, hệ thốnghóa và nâng cấp những kiến thức và kỹ năng về hàm số một đổi mới số: Giới hạn, tính liên tục củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài học kinh nghiệm nhằm mục đích ôn tập với khối hệ thống hóa lại các kỹ năng toán học đã học trong lịch trình diện tích lớn yêu cầu bạn cần hiểu kỹ lại các định hướng về hàm số, số lượng giới hạn.• Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm cho bài tập càng các càng xuất sắc nhằm củng chũm cùng nâng cao kỹ năng. 1 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng liên tục1.1. Hàm số một vươn lên là số1.1.1. Định nghĩa hàm số một trở nên số Cho X là tập hòa hợp khác trống rỗng của R . Ta điện thoại tư vấn ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một đổi thay số bên trên tập phù hợp X , trong những số ấy x là phát triển thành số hòa bình, y là đại lượng phụ thuộc vào hay hàm số của x . Tập đúng theo X hotline là miền khẳng định của hàm số f . Tập thích hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X điện thoại tư vấn là miền giá trị của f Nếu hàm số một đổi mới số đến trong dạng biểu thức: y = f (x) cơ mà không nói gì thêm thì ta đọc miền xác minh của hàm số là tập đúng theo đa số cực hiếm thực của trở nên số x khiến cho biểu thức bao gồm nghĩa. lấy ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 khẳng định lúc : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Do đó miền khẳng định của hàm số y = 1 − x 2 là < −1,1> . Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là <0,1>. Miền xác minh của một hàm số có thể với nhiều tập nhỏ rời nhau, bên trên mỗi tập con đó lại có một luật lệ riêng rẽ để xác minh quý hiếm của hàm số. Hàm số rất có thể được khẳng định do những bí quyết không giống nhau tùy ở trong vào cực hiếm của phát triển thành. ví dụ như 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x Khi x Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập đúng theo những điểm tránh rốc, cũng hoàn toàn có thể tất cả một số trong những cung tức thì lấy một ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 lúc x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 1 ⎩2 Hình 1.1 Việc vẽ phác họa đồ gia dụng thị của hàm số f cùng với miền xác định là một trong những khoảng số thực thường xuyên được xác định theo trình từ nlỗi sau: Lấy những số x1 , x 2 ,..., x n tự miền xác định của hàm số (càng những điểm và các điểm càng sát nhau càng tốt). • Tính những quý hiếm tương xứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • Xác định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối các điểm đang xác định nói trên ta tất cả hình hình ảnh phác họa của thiết bị thị hàm số. Cách vẽ nlỗi trên ko hoàn toàn chính xác nhưng mà chỉ mang lại hình dáng của đồ dùng thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng làm minch họa Hình 1.2 các đặc thù cơ bạn dạng, sự phụ thuộc vào của giá trị của hàm số và biến hóa số. Nhìn vào đồ dùng thị có thể dễ dàng quan liêu giáp Xu thế đổi khác của giá trị hàm số lúc biến hóa hòa bình biến hóa.1.1.3. Hàm số đối chọi điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số đơn điệu Hàm số f (x) xác minh trong tầm (a, b) • Được gọi là đối chọi điệu tăng trong tầm (a, b) nếu với đa số x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn với liên tiếp (Nếu ĐK trên vẫn đúng vào khi quăng quật vết đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f sút ngặt (giỏi nghịch biến) bên trên (a, b) ). Hàm số f được điện thoại tư vấn là đơn điệu trên (a, b) trường hợp nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đối kháng điệu giảm trong khoảng này. Đồ thị của hàm số tăng là 1 mặt đường “đi lên”, ngược lại đồ dùng thị hàm số sút là đường “đi xuống” ví như chú ý tự trái thanh lịch đề xuất. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định bên trên một tập hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng tầm (−l, l) , đoạn < −a, a > , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là những hàm lẻ bên trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn dấn trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ gia dụng thị hàm lẻ dìm gốc tọa độ O có tác dụng trung ương đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được Điện thoại tư vấn là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) giả dụ sống thọ số thực p ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D với f (x + p) = f (x). Số p điện thoại tư vấn là chu kỳ luân hồi của hàm f . 5 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng liên tiếp Nếu trong các số p nói trên, sống thọ một trong những dương nhỏ tuổi nhất – ký kết hiệu do T – thì T được gọi là chu kỳ cơ phiên bản của f . ví dụ như 5: Các hàm sin x, cos x hồ hết tuần hoàn cùng với chu kỳ luân hồi 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R Các hàm tgx,cotgx đa số tuần trả với chu kỳ π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 bên cạnh đó các chu kỳ nói bên trên đông đảo là những chu kỳ cơ bạn dạng. Thật vậy, ví dụ điển hình chu đáo hàm y = sin x , mang sử mãi sau số dương T Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn với liên tiếp Hàm số g biến đổi x thành y theo luật lệ trên Điện thoại tư vấn là (hàm số) phù hợp của nhì hàm f và ϕ . Ký hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng vào biện pháp ký kết hiệu trên, hàm như thế nào lép vế lại có tác động ảnh hưởng trước cho vươn lên là x ). lấy một ví dụ 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm phù hợp của hai hàm y = u 5 cùng u = sin x . Cách nói sau cũng rất được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm thích hợp của nhì hàm f (x) = x 5 với ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) gồm miền xác minh X , miền quý giá Y = f (X) . Nếu cùng với mỗi y 0 ∈ Y lâu dài duy nhất x 0 ∈ X nhằm f (x 0 ) = y0 (tuyệt phương thơm trình f (x) = y0 bao gồm nghiệm tốt nhất vào X ) thì phép tắc biến chuyển mỗi số y ∈ Y thành nghiệm độc nhất vô nhị của pmùi hương trình f (x) = y là 1 trong hàm số đi trường đoản cú Y cho X gọi là hàm ngược của hàm f , ký kết hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. lúc đó, thuận lợi thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . ví dụ như 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) tất cả hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) có hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • Các lượng chất giác thân quen đều phải sở hữu hàm ngược với cùng 1 biện pháp ký hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → < − 1,1> ⎟ có hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ kia là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ < − 1,1> → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ (<0, π> → < − 1,1>) Hàm số y = cos x bao gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o kia là: x = arccos y (< − 1,1> → < 0, π>) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ tất cả hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục ( ( 0, π ) → R ) có hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • Do thường xuyên ký hiệu x để chỉ thay đổi độc lập và y để chỉ phát triển thành phụ thuộc nên lúc màn biểu diễn hàm ngược nắm bởi vì x = f −1 (y) có viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của nhị hàm ngược nhau không biến hóa như Lúc đổi phương châm x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua con đường phân giác đầu tiên. Thật vậy, hotline (C) và (C’) theo lần lượt là thứ thị của nhì hàm f (x) và f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M " = (y, x) ∈ (C ") Hình 1.6: Hàm nón, hàm logarit1.1.6. Các hàm số sơ cấp1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp cho cơ phiên bản • Hàm lũy quá y = x α (α ∈ R) Miền xác minh (MXĐ) của hàm dựa vào vào số α . o Nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . o Nếu α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 Nếu α = , p ∈ R* thì MXĐ là R + nếu như o p p chẵn cùng R giả dụ p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 Nếu α vô tỷ, MXĐ được quy ước là R + . o • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 với nghịch biến hóa giả dụ 0 1 cùng nghịch biến đổi trường hợp o 0 Bài 1: Hàm số, giới hạn với thường xuyên y = cos x : Có MXĐ là R ,o MGT < − 1,1> ; cho tương xứng từng số thực x với hoành độ điểm trình diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần trả cùng với chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng 2π . y = tgx : Có MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; đến tương xứng từng số thực x với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác minh các lượng chất giác điểm tia OM ( M là điểm màn trình diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác) với trục chảy là mặt đường trực tiếp tất cả phương thơm trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ bản π . y = cotgx: Có MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; mang đến tương xứng mỗi số thực xo cùng với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác) với trục cotg là con đường trực tiếp bao gồm phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ cơ bạn dạng π . Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác 9 Bài 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục • Hàm lượng giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : Có MXĐ là < − 1,1> , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. o ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng phát triển thành. y = arccos x : Có MXĐ là < − 1,1> , MGT < 0, π> là hàm ngược của hàm cos. o Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến chuyển. o ⎛ π π⎞ y = arctgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến đổi. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến hóa. Hình 1.10: Đồ thị những các chất giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp cho là 1 trong hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bạn dạng cùng hàm hằng cùng rất một trong những hữu hạn những phnghiền toán số học tập (cùng, trừ, nhân chia) với các phxay toán thù đem hàm thích hợp. lấy ví dụ như 8: Các hàm số sau phần đa là các hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • Hàm lượng giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Dãy số với số lượng giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Dãy số Ta Call hàng số là một trong tập hòa hợp những số (Gọi là các số hạng) được viết theo một máy tự, giỏi được đánh số bởi những số thoải mái và tự nhiên. Để cho 1 hàng số, tín đồ ta hoàn toàn có thể sử dụng các phương thức như liệt kê, cách làm tổng quát và công thức truy nã hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ những số hạng theo như đúng trang bị từ bỏ (còn nếu như không viết được không còn thì sử dụng dấu “…” để thể hiện dãy chi tiết tục). • Công thức tổng quát: Chỉ rõ biện pháp khẳng định một số trong những hạng ngẫu nhiên chỉ cần phải biết máy từ của số hạng kia trong dãy. • Công thức truy hỏi hồi: Chỉ rõ bí quyết xác định một số trong những hạng khi biết những số hạng tức thì trước nó trong hàng. • Liệt kê chỉ bao gồm chân thành và ý nghĩa trình bày với thích hợp tốt nhất với hàng hữu hạn, rất có thể coi là biện pháp màn biểu diễn bởi quy nạp không trọn vẹn. Còn nhị giải pháp cơ đảm bảo hoàn toàn có thể tìm kiếm được số hạng với trang bị trường đoản cú ngẫu nhiên trong dãy. lấy ví dụ như 9: Dãy Fibonacci và 3 phương pháp trình diễn nêu bên trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • Công thức tổng quát: Số hạng vật dụng n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • Công thức tróc nã hồi: Hai số hạng đầu tiên đề bởi 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bởi tổng nhị số hạng liền trước. Công thức tổng quát của hàng số là phương pháp màn biểu diễn tốt nhất nhằm hoàn toàn có thể tư tưởng dãy số. Nhờ nó, dãy số được có mang một cách rất là đơn giản dễ dàng mà nghiêm ngặt. Định nghĩa: Dãy số là 1 trong ánh xạ (hàm số) gồm miền xác định là (hoặc một tập con các số thoải mái và tự nhiên liên tục của ) cùng đem quý hiếm vào tập những số thực R . Ta thường xuyên cam kết hiệu dãy số bởi x n n =1 tốt gọn rộng x n . ∞ 11 Bài 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên ví dụ như 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,..., (−1) n ,... n∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,..., n 2 ,... 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2.

Xem thêm: Thơ Tình Yêu Ngắn Vui - Những Bài Thơ Chế Về Tình Yêu Hay, Hài Hước Nhất

Dãy tăng, hàng giảm, dãy bị ngăn Dãy x n gọi là • Dãy tăng giả dụ x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy 1-1 điệu ví như nó là hàng tăng hoặc dãy sút. • Bị ngăn trên ví như tồn tại số M làm sao để cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị ngăn bên dưới nếu mãi mãi số m làm sao để cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị ngăn giả dụ vừa bị ngăn trên, vừa bị chặn bên dưới. Trong ví dụ 10 • Dãy (A) là hàng số bớt, bị chặn bên dưới vì chưng 0 với bị chặn bên trên do 1. • Dãy (B) ko đối chọi điệu, bị ngăn bên dưới bởi vì −1 cùng bị ngăn trên vày 1. • Dãy (C) là hàng tăng, bị chặn bên dưới vì chưng 1 không biến thành chặn trên cần không bị chặn. • Dãy (D) là dãy tăng, bị chặn bên dưới vì chưng 0 cùng bị chặn bên trên vị 1.1.2.2. Giới hạn của hàng số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét hàng số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng bí quyết giữa x n và 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: Cho trước một số ε > 0 nhỏ nhắn tùy ý thì sẽ tìm kiếm được một trong những N làm thế nào để cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n với 0 đã nhỏ hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, cho trước khoảng tầm ε = 0, 05 thì chỉ việc n = 8 thì x n − 0 = 0 cho trước (nhỏ nhắn tùy ý), vĩnh cửu số tự nhiên n 0 làm sao để cho với mọi n > n 0 thì x n − a Bài 1: Hàm số, giới hạn cùng liên tiếp Ta viết: llặng x n = a tuyệt x n → a Khi n → ∞ . n →∞ Dãy x n được Call là dãy hội tụ giả dụ lâu dài số a nhằm lyên ổn x n = a . Trong ngôi trường hòa hợp n →∞ ngược trở lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong quan niệm trên, số n 0 phụ thuộc vào vào ε đề xuất ta viết n 0 = n 0 (ε) . Ví dụ 11: 1 = 0. lyên n →∞ n Thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . n ⎡1 ⎤ Với mỗi ε > 0 ngẫu nhiên chỉ cần lựa chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì Lúc n > n 0 gồm ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 đến trước (lớn tùy ý), vĩnh cửu số tự nhiên n 0 làm thế nào để cho với đa số n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lyên x n = ∞ cùng là hàng phân kỳ. n →∞ Trên trên đây chỉ tuyên bố khái niệm số lượng giới hạn khôn xiết nói bình thường, ta có thể phát biểu chi tiết rộng về số lượng giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn mãi sau giới hạn1.2.3.1. Tính độc nhất của số lượng giới hạn Định lý: Nếu một dãy bao gồm số lượng giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy chính là hàng bị chặn . • Giới hạn là duy nhất.1.2.3.2. Ngulặng lý giới hạn kẹp Nếu gồm cha dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn llặng x n = llặng z n = a ( a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n gồm số lượng giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . n →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass Dãy số tăng với bị chặn trên (hoặc giảm với bị chặn dưới) thì quy tụ. 13 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn với liên tục1.2.4. Các định lý về số lượng giới hạn của dãy số Cho x n , y n là những hàng bao gồm số lượng giới hạn hữu hạn. Dùng quan niệm rất có thể chứng tỏ các công dụng sau: lim(x n ± y n ) = lyên ổn x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = llặng x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n llặng x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . lim n →∞ y llặng y n n →∞ n n →∞ Chú ý rằng khi cả x n , y n gồm những số lượng giới hạn vô cực thì nhìn chung ko áp dụng 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Lúc kia ta được các kết quả nói bên trên. Các dạng vô định thường chạm chán là 0∞ yêu cầu cần sử dụng những phnghiền thay đổi để khử dạng vô định. lấy ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = llặng ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lyên ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lyên n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) Giả sử hàm số f (x) khẳng định ở cạnh bên điểm x 0 (hoàn toàn có thể trừ trên x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là A khi x dần dần tới x 0 nếu: Với đầy đủ số ε > 0 cho trước, phần đông sống thọ một trong những δ > 0 làm thế nào cho khi: x − x 0 x 0 giỏi x Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng thường xuyên • Quá trình x tiến đến x 0 về phía bên bắt buộc, Tức là x → x 0 cùng với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản và dễ dàng rộng là x → x 0 + • Quá trình x tiến mang lại x 0 về phía bên trái, tức là x → x 0 cùng với điều kiện x x 0 • Giới hạn bên trái: llặng f (x) = f (x) . lim x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 Bài 1: Hàm số, giới hạn với tiếp tục lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . llặng g(x) L 2 x →a Định lý: Giả sử ϕ( x) với f (u) vừa lòng những điều kiện: lyên ϕ(x) = b với lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • mãi mãi số δ > 0 sao cho Lúc x ∈ (a − δ;a + δ) cùng x ≠ a ta luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: llặng f ( ϕ(x) ) = L . x →a Định lý: Nếu hàm số sơ cấp f (x) khẳng định trong khoảng chứa điểm x = a thì llặng f (x) = f (a) . x →a Định lý: Nếu mãi sau số δ > 0 làm thế nào cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với tất cả x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . khi đó: lyên ổn < f (x) > g(x ) = bα . x →a x →a x →a ví dụ như 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 cùng lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , bởi llặng 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: Nếu lim f (x) = 0 cùng g(x) là một trong hàm số bị ngăn thì lim f (x).g(x) = 0 . x →a x →a 1 1 = 0 bởi vì lyên ổn x 2 = 0 cùng sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Vô cùng Khủng, cực kì bé1.3.3.1. Khái niệm • Đại lượng f(x) gọi là một trong những cực kì nhỏ xíu (viết tắt là VCB) Khi x → a nếu llặng f (x) = 0 . x →a Tại đây, a hoàn toàn có thể là hữu hạn tốt khôn xiết. Từ khái niệm số lượng giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A Lúc x → a thì f (x) = A + α(x) Trong số đó α(x) là một trong những Ngân hàng Ngoại thương khi x → a • Đại lượng F(x) hotline là 1 trong khôn xiết phệ (viết tắt là VCL) Lúc x → a trường hợp llặng F(x) = +∞ x →a16 Bài 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên 1 • cũng có thể tiện lợi thấy rằng giả dụ f(x) là một trong những Vietcombank không giống không Lúc x → a thì là VCL f (x) 1 và trở lại ví như F(x) là 1 trong những VCL khác không Khi x → a thì là 1 VCB F(x) Khi x → a . Crúc thích: • Một hàm hằng khác ko dù nhỏ dại bao nhiêu cũng không là 1 trong Vietcombank khi x → a • Một hàm hằng to bao nhiêu cũng không thể là một trong VCL lúc x → a1.3.3.2. Tính chất • Nếu f1 (x), f 2 (x) là nhị VCB khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là đa số VCB khi x → a . • Nếu f1 (x), f 2 (x) thuộc lốt cùng là nhì VCL Lúc x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là 1 trong VCL Lúc x → a . Tích của hai VCL Khi x → a cũng là 1 VCL lúc x → a .1.3.3.3. So sánh những khôn cùng nhỏ bé • Bậc của các Ngân hàng Ngoại thương VCB Định nghĩa: Giả sử α( x), β(x) là nhị Ngân hàng Ngoại thương Khi x → a . α(x) = 0 ; ta nói rằng α( x) là Ngân hàng Ngoại thương VCB bậc cao hơn β( x) . Nếu lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta bảo rằng α(x) là Ngân hàng Ngoại thương VCB bậc rẻ rộng β(x) . Nếu lyên ổn o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta nói rằng α(x) cùng β(x) là hai VCB thuộc bậc. Nếu lyên ổn o x → a β(x) α(x) ko trường thọ, ta nói rằng quan yếu đối chiếu nhì VCB α(x) và Nếu lyên o x → a β(x) β( x) . lấy ví dụ như 14: 1 − cos x với 2x rất nhiều là đều Ngân hàng Ngoại thương VCB Khi x → 0 . x x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lyên 1 . 2 =0 = lyên Vì: llặng x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 đề xuất 1 − cos x là Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank bậc cao hơn nữa 2x . lấy một ví dụ 15: 1 x.sin với 2x là hầu hết Ngân hàng Ngoại thương VCB lúc x → 0 . x 1 1 x sin sin x = 1 lyên sin 1 . x = lyên ổn Vì: llặng 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 Bài 1: Hàm số, giới hạn cùng thường xuyên 1 1 bắt buộc x sin và 2x là nhị Vietcombank Lúc x → 0 không Nhưng không lâu dài lim sin x x x →0 đối chiếu được cùng nhau. • Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank tương đương Định nghĩa: Hai Ngân hàng Ngoại thương VCB α ( x ) và β ( x ) khác 0 lúc x → a điện thoại tư vấn là tương tự với nhau nếu α(x) =1. lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) Nhận xét: 2Ngân hàng Ngoại thương tương đương là trường thích hợp đặc biệt quan trọng của 2 VCB thuộc bậc. Định lý: Nếu α(x) với β(x) là nhị Ngân hàng Ngoại thương Vietcombank Lúc x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) Lúc x → a thì: α (x) α(x) = lyên 1 lyên ổn . x → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) Thật vậy, vị α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: llặng = 1; llặng = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Các vô cùng bé bỏng tương tự thường chạm mặt Nếu α(x) → 0 Khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là một trong hàm số xác định trong tầm (a, b), x 0 là một trong điểm ở trong (a, b) .Ta nói rằng hàm số f thường xuyên trên x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 Nếu hàm số f ko tiếp tục trên x 0 , ta bảo rằng nó ngăn cách tại x 0 . Nếu đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) rất có thể viết là: lim < f (x) − f (x 0 ) > = 0 tuyệt lyên Δy = 0 . x →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng nói theo cách khác rằng f thường xuyên trên x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lyên ổn x) . x →x0 x →x0 Ví dụ 16: Hàm số y = x 2 tiếp tục tại phần đa x 0 ∈ R . Thật vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; llặng Δy = 2x 0 . lyên ổn Δx + lim Δx. llặng Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 Tương từ điều này, có thể minh chứng được rằng hầu như hàm số sơ cấp cho cơ bản mọi liên tục tại phần đa điểm trực thuộc miền xác minh của chính nó.18 Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn với tiếp tục Định nghĩa: f(x) được điện thoại tư vấn là: liên tục trong tầm (a, b) giả dụ nó liên tục tại rất nhiều điểm của khoảng tầm kia. liên tục trên đoạn < a, b > , trường hợp nó tiếp tục trên số đông điểm của khoảng (a, b) , đôi khi liên tiếp yêu cầu tại a (Có nghĩa là llặng f (x) = f (a) ) với liên tục trái trên b (tức là: lim f (x) = f (b) ). x →a + 0 x →b −01.3.4.2. Các phnghiền toán về hàm tiếp tục Từ các định lý về số lượng giới hạn của tổng, tích, thương cùng trường đoản cú khái niệm của hàm số thường xuyên trên một điểm, rất có thể tiện lợi suy ra: Định lý: Nếu f với g là hai hàm số thường xuyên trên x 0 thì: • f (x) + g(x) tiếp tục tại x 0 • f (x).g(x) thường xuyên tại x 0 f (x) • tiếp tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0 . g(x) Định lý: Nếu hàm số u = ϕ(x) liên tiếp trên x 0 , hàm số y = f (u) liên tiếp tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số đúng theo y = (f ϕ)(x) = f < ϕ(x) > liên tiếp tại x 0 . Chứng minh: Ta bao gồm lyên ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vì chưng ϕ liên tiếp trên x 0 . x →x0 Hàm số: y = f (u) tiếp tục tại u 0 . Do đó: lyên ổn f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. Tính hóa học của hàm số tiếp tục Các định lý tiếp sau đây (không hội chứng minh) nêu lên phần nhiều đặc thù cơ bạn dạng của hàm số tiếp tục. Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn < a; b > thì nó bị chặn trên đoạn đó, Tức là tồn tại nhì số m với M sao cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ < a; b > . Định lý: Nếu hàm số f (x) thường xuyên trên đoạn < a; b > thì nó đạt cực hiếm nhỏ dại nhất m với cực hiếm lớn nhất M của chính nó bên trên đoạn ấy, Có nghĩa là sống thọ nhị điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ < a, b > ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ < a, b > Định lý (về giá trị trung gian): Nếu hàm số f (x) thường xuyên bên trên đoạn < a; b > ; m với M là những cực hiếm nhỏ duy nhất cùng lớn số 1 trên đoạn đó thì với đa số số μ nằm giữa m với M luôn luôn trường tồn ξ ∈ < a, b > sao cho: f ( ξ) = μ . Hệ quả: Nếu f(x) thường xuyên trên < a, b > , f(a)f(b) Bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn cùng liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài này họ nghiên cứu và phân tích bố sự việc là:• Những vụ việc cơ bạn dạng về hàm số một biến hóa số• Dãy số và số lượng giới hạn của dãy số• Giới hạn của hàm sốPhần trước tiên khối hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một đổi thay số, một trong những tính chấtcủa hàm số như tính 1-1 điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần trả. Tiếp theo, học tập viên đã tìm hiểu cáccó mang về hàng số và giới hạn của hàng số, các định lý áp dụng nhằm tính giới hạn của dãy số.Phần sau cùng trình diễn về giới hạn hàm số, hàm số tiếp tục cùng những định nghĩa vô cùng bự, vôcùng bé bỏng.20